[FISIKA] Mencari F, T, dan A pada Getaran, Contoh soal dan penyelesaian

Tags
Hallo Sob! Kali ini saya akan membagikan Artikel tentang Getaran, dimana ini adalah materi Fisika. Kita tahu getaran adalah sebuah rambatan yang bergerak secara cepat dan bolak-balik, sebagai contoh seperti senar gitar. Jika kita petik, maka senar gitar tersebut akan bergerak secara cepat dan bergerak bolak-balik, maka situasi ini disebut sebuah getaran. Lalu apa itu Gelombang? Gelombang adalah getaran yang rambatannya tanpa memindahkan materi perantaranya. Contoh dalam dunia nyata adalah air laut. Namun, saya akan membuat penjelasan tentang Gelombang diartikel selanjutnya.

Untuk mengetahui lebih jauhnya lagi, berikut adalah penjelasan Getaran dan Gelombang.

Getaran


Pengertian :
Getaran merupakan gerak bolak-balik secara periodik melalui titik keseimbangan.

Berikut adalah contoh sebuah getaran jika digambarkan dengan bola yang diikat dan digantung dibawah sebuah benda.

Berdasarkan gambar diatas, jika bola terdebut diayunkan 1 kali maka akan terjadi 1 kali getaran dimana bola tersebut terletak pada posisi A melaui B dan C dan kembali lagi melalui B dan A sehingga akan membentuka pola A-B-C-B-A.

Bagian-bagian Getaran :
1. Amplitudo (A), yaitu perpindahan maksimum dari titik perseimbangan atau setengah dari jarak ayunan.
2. Frequensi (F), yaitu waktu yang diperlukan beban untuk menempuh waktu 1 second.
3. Periode (T), yaitu waktu yang diperlukan dari titik keseimbangan dan kembali ketitik itu juga.

Berikut adalah rumus untuk mencari T, F, dan A.

Ket :
A : Amplitudo
F : Frequensi
T : Periode
AC : Jarak bolak-balik

Contoh Soal :
Supaya Sobat dapat memahami rumus tersebut. Berikut adalah contoh soal mencari T, F, dan A.

Sebuah ayunan yang bertali panjang bergerak bolak-balik sejauh 8 cm. Untuk bergerak 10 kali diperlukan selang waktu 30 second. Maka tentukan berapa :
a. T
b. F
c. A

Penyelesaian
a. Mencari Periode :
T = 1/F
10T = 30 Second
T = 30/10
T = 3 second

Ket : untuk mencari Periode/T maka kita gunakan rumus T = 1/F. Mungkin Sobat bertanya kenapa 10 diletakan diruas yang ada T dan 30 diruas sebaliknya. Ini dikarenakan T adalah waktu yang diperlukan dari titik keseimbangan dan kembali ke titik itu juga, maka bisa dikatakan selama 10 kali gerakan (10T) maka waktu yang dibutuhkan adalah 30 Second sehingga diperoleh dari rumus tersebut menjadi 10T = 30 Second. Karena rumusnya 1/F maka akan menjadi T = 30/10 maka hasilnya adalah T = 3 Second.

b. Mencari frequensi :
F = 1/T
F = 1/3 hz

Ket : Untuk mencari frequensi maka kita harus menggunakan rumus F = 1/T, dikarenakan T nya sudah diketahui yaitu 3 Second maka dari rumus tersebut diperoleh F = 1/3. 1/3 adalah proses yang tidak bisa disederhanakan lagi kecuali desimal. Dikarenakan tidak bisa disederhanakan maka hasilnya F = 1/3 Hz.

c. Mencari Amplitudo :
A = ½ x AC
A = ½ x 8 = 4 cm

Ket : Untuk mencari Amplitudo, maka kita gunakan rumus A = ½ x AC. AC adalah jarak getaran bolak-balik tersebut, dari soal maka diperoleh 8 cm. Sehingga A = ½ x AC = 4 cm.

Nah begitulah beberapa materi dari Getaran. Cukup mudah bukan, Sob?
Kita hanya perlu memahami atau mengingat rumusnya saja jika suatu saat diulangan akhir Semester terdapat soal seperti diatas.
Mungkin cukup sekian, semoga bermanfaat.

Persamaan Lingkaran, Contoh soal dan Penyelesaian

Hallo, Sob.
Kali ini saya akan membagikan artikel tentang Materi Persamaan Lingkaran.Sebelumnya kita tahu materi tentang Persamaan Garis. Namun, apa Sobat tahu bahwa selain persamaan garis, materi matematika juga terdiri dari Persamaan Lingkaran. Dimana kita menghitung dengan secara logika posisi suatu titik terhadap suatu lingkaran. Berikut adalah pengertian Persamaan Lingkaran.

Baca Juga :
Persamaan Garis Singgung L, contoh soal dan penyelesaian

1. Pengertian Persamaan Lingkaran


Persamaan Lingkaran, merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu. Jarak yang sama disebut jari-jari lingkaran, sedangkan titik tertentu disebut pusat lingkaran.

2. Persamaan Lingkaran yang berpusat di O(0, 0)


Dengan menerapkan teorama Phytagoras pada segitiga OPP, diperoleh
OP² = OP² + PP²


Karena P(x, y) sembarang titik pada lingkaran, maka persamaan r² = x² + y² berlaku untuk semua titik P(x, y) yang tertera pada lingkaran. Dengan demikian, persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan jari-jari r adalah

x² + y² = r²

Posisi sembarang titik P(a, b) terhadap lingkaran r² = x² + y² adalah sebagai berikut.

a. Titik P(a, b) terletak pada lingkaran
x² + y² = r² atau a² + b² = r²

b. Titik P(a, b) terletak didalam
x² + y² = r² atau a² + b² kurang dari r²

c. Titik P(a, b) terletak diluar lingkaran
x² + y² = r² atau a² + b² lebih dari r²

Supaya Sobat Matematika lebih memahaminya lagi, berikut adalah contoh soal, penyelesaian, dan penjelasannya.

Contoh Soal :
1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) yang diketahui :
a. r = 2
b. Melalui titik (-3, 4)
c. Mempunyai luas 16π satuan

Penyelesaian :
a. Dik :
Jari-jari (r) = 2
pusat O(0, 0)
Dit : Persamaan Lingkaran ?
Jawab :
x² + y² = r²
x² + y² = 2² = 4

Ket : Dikarenakan soal ini hanya diketahui jari-jari dan titik pusatnya maka rumus yang kita gunakan adalah
x² + y² = r². Selanjutnya dikarenakan juga titik pusatnya adalah (0, 0) maka kita tidak perlu merubah x dan y pada x² + y² dengan (0, 0), sehingga kita hanya merubah nilai jari-jari (r) nya saja dengan nilai r pada soal. Sehingga diperoleh x² + y² = 2². Lalu kita hanya menyelesaikan 2² nya saja, maka diperoleh x² + y² = 4 adalah hasilnya.

Kesimpulan : Jadi, persamaan lingkarannya adalah x² + y² = 4.

b. Dik :
Titik (-3, 4)
pusat O(0, 0)
Dit : Persamaan Lingkaran ?
Jawab :
x² + y² = r²
(-3)² + 4² = r²
9 + 16 = r²
r² = 25²

Ket : Untuk soal seperti ini, sama saja dengan seperti mencari nilai jari-jarinya (r) . Maka masih sama dengan penyelesaian dengan poin a, yaitu menggunakan rumus x² + y² = r². Namun bedanya yaitu soal ini sudah ditentukan nilai x dan y nya yaitu (-3, 4), sehingga kita hanya mensubstitusikannya. Maka x dan y nya diubah dengan titik yang telah ditentukan sehingga diperoleh
(-3)² + 4² = r², lalu kita sederhanakan soal tersebut maka akan menjadi berikut ini
9 + 16 = r², selanjutnya kita jumlahkan sehingga menjadi 25² = r² atau sama saja dengan r² = 25².

Kesimpulan : Jadi, persamaan lingkarannya adalah x² + y² = 25²

c. Dik : O(0, 0) dan Luas = 16π
Dit : Persamaan Lingkaran ?
Jawab :
Luas Lingkaran :
πr² = 16π
r² = 16

Ket : Untuk mencari persamaan lingkaran dengan yang diketahui hanya pusatnya dan luasnya maka kita gunakan rumus Luas Lingkaran, yaitu πr². Dikarenakan Luasnya sudah diketahui sehingga kita tidak perlu menyelesaikannya lagi sehingga diperoleh r² = 16.

Kesimpulan : Jadi, persamaan lingkarannya adalah x² + y² = 16.

2. Diketahui titik A (1, 0) dan B (4, 0). Periksalah tempat kedudukan searah geometri dari titik P(x, y) yang diberikan sebagai P(x, y) | PB = 2PAy.

Penyelesaian
PB = 2PA
PB² = 4PA²
(x - 4)² + (y - 0)² = 4((x - 1)² + (y - 0)²)
x² - 8x + 16 + y² = 4(x² - 2x + 1 + y²)
x² - 8x + 16 + y² = 4x² - 8x + 4 + 4y²
3x² + 3y² = 12
x² + y² = 4

Ket : mungkin Sobat bertanya PB² itu apa, begini PB² adalah persatuan dari titik P(x, y) dan titik B(4, 0). B(4, 0) juga bisa disebut 4 nya adalah x1 dan 0 adalah y1. Sehingga rumusnya adalah
(x - x1)² + (y - y1)², jika B nya dimasukan maka akan menjadi
(x - 4)² + (y - 0)². Sama dengan PB², 4PA² juga terdiri dari titik P dan titik A. Rumusnya juga sama dengan yang tadi yaitu (x - x1)² + (y - y1)². Sehingga diperoleh
4((x - 1)² + (y - 0)²). Langkah selanjutnya yaitu, kita sederhanakana semuanya, jika soalnya seperti ini
(a - b)² maka rumusnya adalah
a² + (b.2.a) + (-b)² sehingga diperoleh dalam soal tersebut hasil dari penyelesaiannya adalah seperti berikut.
x² - 8x + 16 + y² = 4(x² - 2x + 1 + y²). Selanjutnya selesaikan terlebih dahulu soal yang terdapat kurungan seperti 4(x² - 2x + 1 + y²) dengan mengkalikan angka 4 kedalam kurung. Sehingga diperoleh
x² - 8x + 16 + y² = 4x² - 8x + 4 + 4y².
Lalu kita pindahkan yang punya variable ke kiri dan yang tidak punya ke kanan sehingga yang negatif menjadi positif dan begitujuga sebaliknya sehingga akan menjadi
x² - 8x + y² - 4x² + 8x - 4y² = 4 - 16
Lalu kita operasikan nilai yang sama dengan yang sama lagi seperti -8x + 8x = 0 lalu x² - 4x² = -3x² dan y² - 4y² = - 3y² dan juga 4 - 16 = - 12. Sehingga diperoleh -3x² - 3y² = - 12. Dikarenakan persamaan lingkaran tidak mengenal negatif maka akan hasilnya akan menjadi 3x² + 3y² = 12. Selanjutnya yang harus kita lakukan adalah membagi semua nilainya dengan satu angka yang sama, dikarenakan 3x² + 3y² = 12 semuanya bisa dibagi oleh satu angka yaitu 3 maka semuanya dibagi dengan angka 3 sehingga diperoleh x² + y² = 4. Jika hasilnya tidak bisa dibagi, maka penyelesaiannya cukup sampai hasil tersebut.

Kesimpulan : Jadi, tempat kedudukan titik P(x, y) adalah lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan jari-jarinya 4.

3. Persamaan lingkaran yang berpusat di A(a, b)



Dengan menerapkan teorima phytagoras, diperoleh hubungan :


Karena titik P(x, y) sembarang, persamaan (x - a) + (y - b)² = r² berlaku untuk semua titik P(x, y) yang terletak pada lingkaran. Dengan demikian, persamaan lingkaran dengan pusat A(a, b) dan jari-jari r adalah :
(x - a)² + (y - b)² = r²

Posisi sembarang titik P(h, k) terhadap lingkaran (x - a)² + (y - b)² = r² adalah sebagai berikut :
a. Titik P(h, k) terletak pada lingkaran
(x - a)² + (y - b)² = r² atau (h - a)² + (k - b)² = r²

b. Titik P(h, k) terletak didalam lingkaran
(x - a)² + (y - b)² = r² atau (h - a)² + (k, b)² kurang dari r²

c. Titik P(h, k) terletak diluar lingkaran
(x - a)² + (y - b)² = r² atau (h - a)² + (k, b)² lebih dari r²

Contoh soal :

Tentukan persamaan lingkaran dengan ketentuan berikut :
a. Berpusat di P(1, -3) dan berjari-jari = 4

b. Berpusat di P(-5, 6) dan melalui titik A(3, -9)

c. Mempunyai diameter garis yang melalui titik A(-2, 5) dan B(4, -1) pada lingkaran.

Penyelesaian
a. Dik : Pusat (1, -3) dan r = 4
Dit : Persamaan lingkaran ?
Jawab :
(x - a)² + (y - b)² = r²
(x - 1)² + (y - (-3))² = r²
(x - 1)² + (y + 3)² = 4²
(x - 1)² + (y + 3)² = 16

Ket : Karena yang dicari persamaan maka kita gunakan rumus
(x - a)² + (y - b)² = r², lalu kita ubah a dan b dengan titik P(1, -3) dimana 1 adalah a dan -3 adalah b. Sehingga diperoleh
(x - 1)² + (y + 3)² = r². Selanjutnya kita ubah r dengan nilai jari-jari yang telah ditentukan pada soal sehingga akan menjadi
(x - 1)² + (y + 3)² = 4², lalu kita selesaikan 4²-nya saja dan yang lainnya tidak diselesaikan lagi sehingga hasilnya akan menjadi (x - 1)² + (y + 3)² = 16.

Kesimpulan : Jadi persamaan lingkaran dari pusat P(1, -3) dan berjari-jari 4 adalah (x - 1)² + (y + 3)² = 16.

b. Dik : P(-5, 6)
A(3, -9)
Dit : Persamaan Lingkaran dan r ?
Jawab :
Mencari jari-jari (r) :

Ket : untuk mencari persamaan lingkaran, kita harus mengetahui jari-jarinya (r). Sehingga menggunakan rumus seperti diatas maka hasilnya atau jari-jarinya adalah 17.

Persamaan Lingkaran :
(x - a)² + (y - b)² = r²
(x -(-5))² + (y - 6)² = 17²
(x + 5)² + (y - 6)² = 289

Ket : Untuk mencari persamaan lingkaran sama dengan poin a yaitu menggunakan rumus (x - a)² + (y - b)² = r². Dan penyelesaiannyapun sama. Sehingga persamaannya yaitu
(x + 5)² + (y - b)² = 289

Kesimpulan : Jadi, persamaan Lingkaran dari P(-5, 6) dan melalui titik A(3, -9) adalah (x + 5)² + (y - b)² = 289

c. Pusat lingkaran merupakan titik lengah dari A(-2, 5) dan B(4, -1)
Jawab :
Mencari pusat lingkaran dari A dan B

Mencari jari-jari (r) :

Persamaan Lingkaran :
= (x - 1)² + (y - 2)²
= (3√2)²
= 18

Nahh begitulah Materi Persamaan Lingkaran yang bisa saya sampaikan kepada Sobat Matematika.
Gimana Sob mudah bukan? Hehe...
Mungkin sebagian ada yang paham dan juga ada yang masih pusing.
Jika Sobat Matematika ada yang ingin ditanyakan Sobat bisa menggunakan kolom komentar tepat dibawah artikel ini.
Semoga bermanfaat, mohon dishare Sob supaya rekan Sobat dapat memahaminya juga.

Persamaan Garis Singgung L, contoh soal dan penyelesaian

Persamaan Garis Singgung L, adalah salah satu materi matematika yang dipelajari di kelas XI SMA/SMK/Sederajat. Materi ini masih sama dengan materi matematika lainnya yaitu menggunakan variable yang dominannya x, y dan juga r/jari². Materi ini juga cukup mudah dipahami karena masih hampir sama dengan materi lainnya. Untuk lebih memahami materi ini yu langsung saja kita simak materi tentang Persamaan Garis Singgung L.

Persamaan Garis Singgung L


Persamaan garis singgung melalui suatu titik pada L berpusat P(0,0) dan berjari-jari "r".

Sifat 9.5
Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik (x, y) pada x² + y² = r² adalah

Contoh Soal :
Tentukan persamaan garis singgung L yang melalui titik (2, 0) dengan P(0, 0) dan berjari-jari 3!

Penyelesaian :
Dik : titik : (2, 0)
x1 = 2
y1 = 0
r = 3
Dit : Persamaan Garis ?
Jawab :
Untuk menyelesaikannya kita gunakan rumus yang sudah ditentukan seperti diatas yaitu
x1 x + y1 y = r² maka kita substitusikan kita ubah x1 dan y1 dengan titik yang disoal. Sehingga seperti dibawah ini.

x1 x + y1 y = r²
(2)x + (0)y = 3²
2x + 0 = 9
2x - 9 = 0
Ket : Karena untuk menyelesaikannya adalah dengan cara substitusi maka diperoleh (2)x dan (0)y dimana x1 dan y1 diubah dari titik (2, 0) karena pada dasarnya semua titik terdiri dari x dan y sehingga 2 adalah x dan 0 adalah y. Selanjutnya yang kita lakukan adalah mengkalikannya sesuai rumus dimana x1 dikalikan dengan x dan y1 dikalikan dengan y maka akan diperoleh 2x + 0 lalu dikarenakan r² maka 3² = 9 sehingga 2x + 0 = 9. Mungkin Sobat bertanya darimana 0? 0 diperoleh dari y1 dikalikan dengan y, karenan nilai y1nya adalah 0 maka 0 dikalikan dengan y hasilnya akan tetap 0. Selanjutnya kita pindah ruaskan 9 dan 0 sehingga 9 menjadi -9 dan 0 akan tetap, maka diperolehlah 2x - 9 = 0.

Kesimpulan : Persamaan garis lingkaran yang berpusat P(0, 0) dan berjari-jari 3 adalah 2x - 9 = 0.

Sifat 9.6
Persamaan garis singgung yang melalui titik (x1 , y1) pada lingkaran
(x - a)² + (y - b)² = r² adalah
(x - a)(x1 - a)+(y - b)(y1 - b) = r²

Contoh soal :
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (2, 4) dengan persamaan lingkaran adalah
(x - 1)² + (y - 2)² = 5 !

Penyelesaian :
Dik : titik (2, 4) dan persamaan lingkaran
(x - 1)² + (y - 2)² = 5
Dit : Persamaan garis singgung ?
Jawab : Untuk menyelesaikannya kita gunakan rumus diatas yang telah ditentukan.
(x - a)(x1 - a)+(y - b)(y1 - b) = r²
(x - 1)(2 - 1)+(y - 2)(4 - 2) = 5
(x - 1)(1)+(y - 2)(2) = 5
x - 1 + 2y - 4 - 5 = 0
x + 2y - 10 = 0

Ket : Tahap pertama yang harus kita lakukan adalah membuat skema seperti rumus, maka akan menjadi (x - 1)(2 - 1)+(y - 2)(4 - 2) = 5. Selanjutnya adalah menyelesaikan terlebih dahulu proses yang dapat diselesaikan, seperti 2 - 1 dan 4 - 2. Sehingga akan menjadi
(x - 1)(1)+(y - 2)(2) = 5. Lalu kita kalikan (x - 1) dengan (1) dan (y - 2) dengan (2). Maka diperoleh x - 1 + 2y - 4 = 5, selanjutnya kita pindah ruaskan angka konstanta yaitu 5 ke kiri. Sehingga diperoleh x - 1 + 2y - 4 - 5 = 0. Lalu kita selesaikan proses yang dapat diselesaikan segingga akan menjadi seperti dibawah ini. x + 2y - 10 = 0.

Kesimpulan : Sehingga persamaan garis singgung L (x - 1)² + (y - 2)² = 5 adalah
x + 2y - 10 = 0.

Gimana Sob mudah bukan? Pada dasarnya kita gunakan mode substitusi untuk mengerjakannya.

Mungkin cukup sekian Artikel tentang Materi Persamaan Garis Singgung L. Seperti biasa jika Sobat ada yang ingin ditanyakan, Sobat bisa gunakan kolom komentar dibawah artikel ini.
Semoga bermanfaat dan mohon dishare jika Artikel ini bermanfaat :).

Persamaan Garis Lurus, Contoh soal dan penyelesaian

Persamaan Garis Lurus adalah materi matematika kelas XI yang terbilang lumayan rumit, walaupun pada dasarnya matematika itu rumit dan memusingkan tetapi materi ini hampir sama dengan Materi Persamaan Garis yang lainnya. Materi ini juga menggunakan simbol seperti f(x), x, y, dan sebagai pembeda materi ini menggunakan rumus tambahan seperti mx dan c.
Untuk memahami lagi bagaimana contoh soal beserta penyelesaiannya, yu simak materinya dibawah ini.

Bentuk Umum Persamaan Garis Lurus/Fungsi Linear


yaitu fungsi yang memiliki variable dengan pangkat tertinggi.
1. Dituliskan sebagai berikut :
f(x) = y = mx + c
Contoh Fungsi Linear :
y = 2x + 5, ini dikatakan fungsi linear dikarenakan memiliki variabel dengan pangkat 1 yaitu x dari 2x.
Contoh bukan Fungsi Linear :
y = x² + 5, ini dikatakan bukan fungsi linear dikarenakan memiliki variabel dengan pangkat 2 yaitu x².
Grafik Fungsi Linear
Digambarkan pada bidang kartesius (sumbu x dan y). Untuk menggambarnya dibutuhkan 2 titik koordinat absis(x) ordinat(y) dengan (x, y)
Sumbu koordinat sebagai berikut :
a. Titik potong pada sumbu x, syarat y = 0
b. Titik potong pada sumbu y, syarat x = 0
Contoh soal sederhana/mudah :
Lukisan garis dengan persamaan y=2x-6 ?
Penyelesaian : Untuk mengerjakannya kita harus memindahkan terlebih dahulu yang memiliki variabel ke bagian kiri. Sehingga diperoleh seperti berikut.
y = 2x - 6
y - 2x = -6
Setelah itu, yang harus kita cari selanjutnya adalah Titik potong pada sumbu x.

a. Titik potong pada sumbu x
Seperti penjelasan diatas bahwa untuk mencari titik potong sumbu x syaratnya yaitu nilai y diubah dengan 0. Maka penyelesaiannya seperti berikut.
y = 0
y - 2x = - 6
0 - 2x = -6
-2x = -6
x = -6/-2
x = 3
Dikarenakan nilai y adalah 0 dan nilai x telah diketahui yaitu 3 maka titik potong pada sumbu x yaitu (3, 0) dimana 3 sebagai x dan 0 sebagai y.

b. Titik potong pada sumbu y
Jika tadi adalah mencari titik potong pada sumbu x, maka sekarang adalah mencari sumbu y dimana caranya hampir sama namun kebalikannya dimana syaratnya yaitu x diubah dengan 0. Maka penyelesaiannya akan menjadi seperti dibawah ini.
x = 0
y = 2x - 6
y = 2(0) - 6
y = 0 - 6
y = - 6
Sehingga diperoleh titik potong sumbu y yaitu (0, -6) dimana 0 adalah x dan -6 adalah y.

Dari titik potong pada sumbu x dan sumbu y maka diperoleh grafik seperti gambar dibawah ini.


3. Menentukan Persamaan Garis Lurus
a. Persamaan garis lurus yang melalui 2 titik A(x1 , y1) dan B(x2, y2)
Rumusnya yaitu :

Contoh Soal : Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3, -4) dan (-2, 6)

Penyelesaian :
Dik : x1 = 3
y1 = -4
x2 = -2
y2 = 6
Dit : Persamaan garis?
Jawab :
Untuk menyelesaikannya kita gunakan rumus diatas sehingga diperoleh dengan seperti dibawah ini.

Setelah diperoleh hasilnya seperti diatas maka tahap selanjutnya adalah mengkali silangnya dimana -5 dikalikan dengan y + 4 dan 10 dikalikan dengan x - 3 sehingga diperoleh penyelesaiannya seperti dibawah ini.
-5 (y + 4) = 10 (x - 3)
-5y - 20 = 10x - 30
-5y = 10x - 30 + 20
-5y = 10x -10
y = (10x - 10)/-5
y = -2x + 2

b. Persamaan garis lurus yang bergradien m dan melalui titik A (x, , y,)

Contoh Soal : Tentukan persamaan garis lurus yang bergradien 2 dan melalui titik (-3, 1)..!!
Penyelesaian :
Dik : m = 2 & A(-3, 1)
Dit : Persamaan garis ?
Jawab :
Untuk menyelesaikannya kita menggunakan rumus diatas, sehingga diperoleh seperti dibawah ini.

Ket : Dikarenakan menggunakan rumus diatas maka diperoleh menjadi
y = 2(x + 3) + 1, dimana 2 adalah m, -3 adalah x1 dan y adalah y1. Tahap selanjutnya adalah mengkalikan m dengan yang didalam kurung yaiti x dan x1. Sehingga diperoleh
y = 2x + 6 + 1, lalu selesaikan sehingga hasilnya menjadi y = 2x + 7.

Nah itulah materi tentang Persamaan Garis Lurus yang telah saya singkat dan dapat dimengerti. Cukup mudah bukan? Dan pastinya cukup memusingkan, hehe...

Mungkin cukup sekian artikel saya yang membahas Persamaan Garis Lurus, mohon maaf jika ada kesalahan dan jika ada Anda bisa menulisnya di kolom komentar dibawah artikel ini sehingga artikel ini bisa saya koreksi. Semoga bermanfaat dan terimakasih telah berkunjung.

Invers Fungsi, contoh soal dan penyelesaian


Setelah kemarin saya membahas Sifat-sifat fungsi komposisi beserta contoh soal dan penyelesaiannya, sekarang saya akan membahas lagi tentang Invers Fungsi.

Fungsi Invers (fungsi kebalikan) adalah (dalam matematika) fungsi yang merupakan kebalikan aksi dari suatu fungsi. Misalnya anggap saja sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B. (Wikipedia).

Untuk menyelesaikannya suatu soal invers Fungsi kita hanya mengubah f(x) menjadi y. Sehingga Invers Fungsi y = f(x) adalah f-¹(x). Atau Sobat bisa memahami contoh soal dibawah ini.

Contoh Soal
Tentukan Invers dari fungsi :
a. f(x) = 2x - 3
b. f(x) = 3x +2 / 2x - 1

Penyelesaian

Ket : Dikarenakan untuk mencari Invers harus mengubah f(x) menjadi y sehingga diperolehlah y = 2x - 3. Selanjutnya yang kita lakukan adalah memindahkan atau menukarkan keruas lain antara yang memikiki variable x dan y karena ketentuannya adalah x harus berada di ruas kiri dan y harus berada diruas kanan, sehingga merubah nilainya yang tadinya negatif menjadi positif begitupula sebaliknya. Sehingga soal akan berbentuk
-2x = - y - 3, lalu selanjutnya yang kita lakukan adalah membagi - y - 3 dengan nilai x. Sehingga diperoleh -y - 3 / -2. Dikarenakan sudah tidak bisa dioperasikan lagi sehingga kita bisa langsung Inverskan penyelesaian tersebut, karena Invers adalah kebalikannya sehingga y diubah menjadi x sehingga didapat - x - 3 / 2 atau juga bisa x + 3 / 2.


Ket : Sama seperti soal nomber a bahwa f(x) diubah dengan y sehingga diperoleh y = 3x + 2 / 2x - 1. Kita pindahkan 2x - 1 keruas sisi kiri yang terletak nilai y maka akan menjadi y(2x - 1)=3x + 2. Lalu kita kalikan y dengan angka didalam kurung. Sehingga akan menjadi 2xy-y = 3x + 2. Selanjutnya pindahkan bahwa ketentuannya yaitu x harus berada diruas kiri dan y diruas kanan lalu berubah dimana negatif menjadi positif begitupula sebaliknya, maka 2xy - 3x = y + 2. Dikarenakan 2xy - 3x memiliki variable yang sama yaitu x, maka bisa dikatakan juga seperti x(2y - 3) karena jika x dikalikan dengan angka didalam kurung maka hasilnya akan kembali lagi seperti 2xy - 3x. Selanjutnya yang kita lakukan adalah membagi y + 2 dengan 2y - 3. Karena sudah tidak bisa disederhanakan, maka kita bisa langsung menentukan Inversnya sehingga Inversnya adalah f-¹(x) = x + 2 / 2x - 3 dimana semua variable y diubah dengan variable x.

Invers artinya adalah kebalikan, maka tidak heran isinya adalah kebalikan dari suatu penyelesaian sebelumnya.
Gimana Sob? Mudah bukan?
Jika Sobat ada yang ingin ditanyakan, Sobat bisa menggunakan kolom komentar dibawah Artikel ini untuk bertanya.

Baca juga:


Mungkin cukup sekian, Semoga Artikel ini bermanfaat dan terimakasih telah berkunjung. Mohon jika Artikel ini bermanfaat Sobat bisa membagikannya ke Sosial Media manapun.

Sifat-sifat fungsi komposisi, tak komutatif, asosiatif, dan terdapat fungsi Identitas


Masih dalam materi tentang Fungsi Komposisi. Sekarang saya akan membagikan Artikel tentang Sifat-sifat Komposisi. Sebelum ke contoh soal, ada sifat-sifat komposisi yang harus diketahui terlebih dahulu yang nantinya akan menentukan jawaban dari contoh soal yang akan kita bahas.
Sifat-sifat Fungsi Komposisi terbagi menjadi 3, yaitu tak komutatif, asosiatif, dan terdapat fungsi Identitas. Berdasarkan pengertian saya sendiri dalam fungsi komposisi ketiga sifat tersebut memiliki pengertian berikut ini.
1. Tak Komutatif, dalam fungsi komposisi tidak berlaku sifat komutatif , yaitu f o g ≠ g o f.
2. Asosiatif, dalam fungsi komposisi berlaku sifat Asosiatif yaitu
f o (g o h) = (f o g)o h
3. Terdapat fungsi Identitas, sehingga berlaku | o f = f o | = f.

Supaya Sobat lebih memahaminya, Sobat bisa memperhatikan contoh soal yang saya buat dibawah ini.

1. Tak Komutatif
Jika diketahui f(x) = 3x + 1 dan g(x) = -2x + 1. Tentukan tak komutatif atau komutatif...??
Penyelesaian
• (f o g)(x) = f (g(x))
= 3 (g(x)) + 1
= 3 (-2x + 1) + 1
= -6x + 3 + 1
= -6x + 4
Ket : Untuk mencari tahu apakah f(x) dan g(x) tak komutatif, maka kita harus mencari terlebih dahulu nilai dari (f o g)(x) sehingga cara mencarinya yaitu dengan cara f(g(x)) dimana (g(x)) menjadi (x) dari f(x). Sehingga jika diubah dengan nilai dari soal maka akan menjadi 3 (-2x + 1) + 1 = -6x + 3 + 1 = -6x + 4.

• (g o f)(x) = g (f(x))
= -2 (f(x)) + 1
= -2 (3x + 1) + 1
= -6x - 2 + 1
= -6x - 1
Ket : Setelah kita mencari nilai dari (f o g) (x), selanjutnya kita harus mencari nilai (g o f)(x). Penyelesaian yang kita gunakan hampir sama dengan cara (f o g) (x) namun rumus yang kita gunakan adalah g(f(x)) dimana (f(x)) adalah (x) dari g(x) sehingga akan menjadi g(3x + 1) atau -2( 3x + 1) + 1. Lalu kita selesaikan dan hasilnya adalah -6x - 1.

Untuk menentukan apakah f(x) dan g(x) tak komutatif, lihat saja hasil akhir dari (f o g)(x) dan (g o f)(x) apakah sama atau tidak. Jika tidak sama, maka terbukti f(x) ≠ g(x).
Kesimpulan : Dari soal diatas terbukti bahwa
(f o g)(x) ≠ (g o f)(x) | -6x + 4 ≠ -6x - 1
Sehingga terbukti tak komutatif.

2. Asosiatif
Jika diketahui f(x) = 3x + 1, g(x) = -2x + 1, dan h(x) = 2x + 1. Maka berapakah ((f o g) o h)(x) = (f o(g o h)(x)) ??
Penyelesaian
• ((f o g) o h)(x) = (f (g(x))) h (x)
= (f (g(x)) 2x + 1
= 3(-2x + 1) + 1(2x + 1)
= -6(2x + 1) + 4
= -12x - 6 + 4
= -12x - 2
Ket : Karena yang ditanyakan adalah salah satunya ((f o g) o h)(x) maka rumus yang kita gunakan adalah rumus (f o g)(x) namun (x)nya diubah dengan h(x) sehingga diperoleh (f (g(x)))(2x + 1). Lalu ubah (f(g(x))) ubah dengan nilai aslinya maka akan menjadi
3(-2x + 1)+1(2x+1). Selanjutnya selesaikan terlebih dahulu (f(g(x))) yaitu 3.(-2x) + 3.1 maka hasilnya adalah
-6x + 3. Lalu urutkan lagi dengan angka yang sebelumnya sehingga menjadi
-6x + 3 + 1, dikarenakan nilai h(x) atau (2x + 1) adalah nilai (x) maka ubah nilai (x) pada -6x + 3 + 1 menjadi h(x) sehingga diperoleh -6(2x + 1) +3+1. Lalu kalikan -6 dengan angka yang ada didalam kurung sehingga diperoleh
-12x -6 + 3 + 1 = -12x - 2.

• (g o h)(x) = g (h(x))
= -2x (h(x))+ 1
= -2x(2x + 1) + 1
= - 4x - 2 + 1
= -4x - 1
Ket : Sebelum kita mencari (f o (g o h))(x) kita harus mencari terlebih dahulu nilai (g o h)(x)nya terlebih dahulu jika belum diketahui. Cara yang digunakan adalah hampir sama seperti mencari (f o g)(x) ataupun (g o f)(x) namun untuk mencari (g o h)(x) hanya menggunakan g(x) dan h(x) dimana h(x) berperan sebagai (x) dari g(x) sehingga diperoleh g(h(x)). Caranya sama dengan cara mencari (f o g)(x) dan (g o f)(x) sehingga saya tidak perlu menjelaskannya lagi.

• (f o (g o h))(x) = f (g (h(x)))
= f ( -4x - 1)
= 3(-4x - 1)+ 1
= -12x - 3 + 1
= -12x -2
Ket : Setelah kita mencari nilai (g o h) maka akan mudah untuk mencari (f o (g o h))(x) karena menggunakan rumus f(g(h(x))) dimana g(h(x)) telah diketahui. g(h(x)) sendiri dalam rumus tersebut menjadi (x) dari f(x) sehingga akan menjadi f(-4x - 1). Lalu kita ubah f(x) dengan nilai aslinya sehingga akan menjadi 3(-4x - 1) + 1, maka yang selanjutnya adalah selesaikan dimana angka 3 dikalikan dengan angka yang berada didalam kurung. Sehingga nilai akhirnya adalah -12x - 2.

Untuk menentukan apakah
((f o g) o h)(x) dan (f o (g o h)(x)) adalah Asosiatif (=) adalah menyamakan kedua nilai tersebut jika sama maka terbukti Asosiatif.

Kesimpulan : Dari soal diatas terbukti bahwa
((f o g) o h)(x) = (f o (g o h))(x)
-12x -2 = -12x -2
terbukti Asosiatif.

3. Terdapat Fungsi Identitas
Jika diketahui
I (x) = x
f(x) = 3x + 1
g(x) = 2x + 1
maka tentukan
a. (f o I)(x) dan (g o I)(x)
b. (I o f)(x) dan (I o g)(x)

Penyelesaian
a.
(f o I)(x) = f(I(x))
= f(x) = 3x + 1

(g o I)(x)
= g(I(x))
= g(x)
= -2x + 1

Ket : Untuk (f o I)(x) dan (g o I)(x) dikarenakan nilai I(x)nya adalah x maka akan menjadi nilai dirinya sendiri lagi. Seperti (f o I)(x) yang rumusnya adalah f(I(x)) dimana I(x) berperan sebagai (x) dari f(x). Dikarenakan nilai I(x) dari f(I(x)) adalah (x) sehingga akan menjadi f(x) lagi yang mempunyai nilai 3x + 1. Sama dengan f(I(x)), g(I(x)) juga memiliki penyelesaian yang sama dengan f(I(x)).

b.
(I o f)(x) = I (f(x))
= I (3x + 1)
= 3x + 1

(I o g)(x) = I (g(x))
= I (-2x + 1)
= -2x + 1
Ket : Untuk mencari nilai (I o f)(x) dan (I o g)(x) maka rumus yang digunakan adalah I (f(x)) dan I (g(x)). Lalu yang selanjutnya adalah ganti f(x) dan g(x) dengan nilai askinya yaitu f(x) = 3x + 1 dan g(x) -2x + 1 sehingga akan menjadi
(I o f)(x) = I (3x + 1) dan
(I o g)(x) = I (-2x + 1). Dikarenakan nilai I(x) hanyalah (x) maka sudah dipastikan tidak ada perhitungan kembali karena hasilnya sudah jelas tertera dimana I(x) adalah nilai (x)nya sendiri.

Kesimpulan : Jadi, terdapat unsur Identitas suatu fungsi dimana jika dikalikan dengan Identitas akan menghasilkan nilai suatu fungsi itu sendiri.

Jangan lupa baca:
Nah itulah Sifat-sifat Fungsi Komposisi. Mungkin sedikit memusingkan karena terlalu terbelit-belit ketika penyelesaiannya yang lumayan panjang, namun bukan Matematika namanya jika tidak seperti itu.

Mungkin cukup sekian yang bisa saya tulis, karena tangan juga sudah pegel ngetik terus. Jika ada yang ingin ditanyakan Sobat bisa menggunakan kolom komentar untuk bertanya. Mohon maaf jika ada kesalahan, mohon jika ada diterakan pada kolom komentar. Sekian semoga bermanfaat, dan terimakasih telah berkunjung.

Jangan lupa Share/Bagikan Artikel ini Sob....

Operasi Aljabar pada Fungsi, contoh soal dan penyelesaian


Hallo Sobat Matematika.!
Setelah kemarin saya posting artikel tentang Fungsi Komposisi mencari f(x) dan g(x) : Mencari suatu fungsi jika diketahui fungsi Lain dan komposisi fungsinya yang saya buat sedetail mungkin, kali ini saya akan posting mengenai Operasi Aljabar pada Fungsi yang penyelesaiannya tidak jauh dengan Artikel yang kemarin saya posting bahkan hampir sama.

 Untuk lebih mengetahui dan memahami lagi tentang Operasi Aljabar pada fungsi disini saya memiliki Contoh Soal Penjumlahan, pwngurangan, perkalian, dan pembagian beserta penyelesaian yang saya buat sedetail mungkin.

Baca juga: Statistika - Mencari mean, median, modus, kuartil, dan simpangan 

  Contoh Soal :
Jika diketahui f(x) = x² - 25 dan g(x) = x + 5, maka berapakah nilai dari :
a. (f + g)(x) = x = 3
b. (f - g)(x) = x = 2
c. (f x g)(12)
d. (f/g)(x)

  Penyelesaian : Untuk soal a. dan b. penyelesaiannya sebenarnya cukup mudah yaitu dengan cara merubah nilai x nya saja dengan nilai yang ditentukan. Atau supaya Sobat lebih memahaminya lagi, Sobat bisa perhatikan penyelesaian-penyelesaiannya dibawah ini.

a. (f + g)(x) = x = 3 =
f(x) + g(x) = (x² - 25) + (x + 5)
= (3² - 25) + (3 + 5)
= (9 - 25) + 8
= -16 + 8
 = -8
Ket : Dikarenakan (f + g)(x) adalah terdiri dari f(x), g(x) dan dijumlahkan sehingga akan menjadi f(x) + g(x). f(x) dan g(x) sudah mempunyai nilai masing-masing yaitu f(x) = x² - 25 dan g(x) = x + 5, dan yang ditanyakan adalah penjumlahan dari kedua tersebut sehingga didapat (x² - 25) + (x + 5). Dikarenakan nilai x sudah ditentukan yaitu 3, sehingga ubah semua x yang tertera dengan angka 3 sehingga didapat (3² - 25) + (3 + 5), lalu jumlahlan nilai yang berada didalam kurung. Sehingga menjadi 16 + 8 = - 8.

 b. (f - g)(x) = x = 2
= f(x) - g(x) = (x² - 25) - (x + 5)
= (2² - 25) - (2 + 5)
= (4 - 25) - 7
= - 21 - 7
= -28
Ket : Untuk penyelesaian tentang pengurangan seperti ini tentunya hampir sama dengan penjumlahan namun yang berbeda adalah disini nilai f(x) - g(x), sehingga saya tidak perlu menjelaskannya kembali.

 c. (f x g)(x) = x = 2
= f(x) x g(x) = (x² - 25) x (x + 5)
= (2² - 25) x (2 + 5)
= (4 - 25) x (2 + 5)
= 8 + 20 - 50 - 125
= - 147
Ket : Dalam tahap pertama perkalian sama saja dengan penjumlahan dan pengurangan, jika x nya sudah diketahui maka kita tinggal mengubah x dari (x² - 25) dan (x + 5) dengan nilai yang sudah ditentukan. Setelah mengubah x, maka yang harus dilakukan selanjutnya adalah mengkalikannya. Berbeda seperti perkalian biasa, disini perkalian yang dilakukan adalah seperti (a - b) (c + d) = a.c + a.d + b.c + b.d sehingga dalam soal tersebut dapat digambarkan seperti (4 - 25) x (2 + 5) = 4.2 + 4.5 + (-25)2 + (-25)5 = 8 + 20 - 50 - 125 = - 147.

 d. (f/g)(x)

 Ket : Mungkin Sobat bertanya darimana (x - 5) (x + 5) ?? Ini dihasilkan dari karena x² - 25 tidak bisa dibagi x + 5, sehingga kita cari terlebih dahulu perkalian berapa kali berapa yang hasilnya -25. Sehingga dapat ditemukan -5 x 5 = -25 dan dapat dikatakan menjadi (x - 5) (x + 5). Lalu yang harus kita lakukan selanjutnya adalah membaginya dengan x + 5, sehingga didapat hasilnya yaitu x - 5.

 Nah begitulah Operasi Aljabar pada fungsi yang telah saya uraikan dengan contoh soal dan penyelesaian yang saya buat detail. Gimana mudah bukan? Saya rasa sihh mudah, Karena kita hanya perlu mengubah sedikit dari soal seperti (x) menjadi 3 atau nilai lainnya.

Nah, jangan lupa baca:
Untuk lebih lengkapnya, kalian bisa cek di kategori Matematika

Mungkin cukup sekian artikel ini saya buat dengan tujuan Sobat paham dan lebih mencintai lagi matematika, semoga bermanfaat dan terimakasih telah berkunjung.

Fungsi Komposisi mencari f(x) dan g(x) : Mencari suatu fungsi jika diketahui fungsi Lain dan komposisi fungsinya


Setelah kemarin saya posting tentang Fungsi Komposisi mencari (f o g) (x) dan (g o f) (x)! Contoh Soal dan Penyelesaian yang saya buat secara detail. Kali ini akan membahas yang sama namun ada sedikit hal yang berbeda. Jika Sobat belum memahami fungsi komposisi, saya sarankan untuk membacanya terlebih dahulu di artikel Fungsi Komposisi yang kemarin saya buat.

Nah jika kemarin saya membahas fungsi komposisi yang contoh soalnya mencari (f o g) (x), (g o f) (x), dan (g o f) (5) yang sudah diketahui f(x) dan g(x). Pada pembahasan kali ini saya akan membahas bagaimana Mencari suatu fungsi jika diketahui fungsi lain dan komposisi fungsinya. Untuk lebih memahaminya kita langsung saja masuk ke Contoh soal.

Contoh Soal
Jika diketahui g(x) = 2x + 1 dan (f o g) (x) = 2x² + x - 1 maka berapakah nilai f(x) ??

Penyelesaian
(f o g) (x) = 2x² + x - 1
f(x) + g(x) = 2x² + x - 1
f(x) + (2x + 1) = 2x² + x - 1
f(x) = 2x² + x - 1 - 2x - 1
f(x) = 2x² + x - 2x - 1 - 1
f(x) = 2x² - x - 2

Ket : Untuk mencari f(x) kita gunakan (g o f) (x) untuk mencarinya jika nilainya sudah diketahui seperti contoh soal diatas yaitu 2x² + x - 1.
Mungkin Sobat bertanya kenapa (f o g) (x) jadi tidak ada malah diganti f(x) + g(x) ?? Ini dikarenakan nilai (f o g)(x) yaitu terdiri dari f(x) dan g(x) sehingga diubah menjadi f(x) + g(x). Dikarenakan g(x) sudah diketahui sehingga f(x) + g(x) menjadi f(x) + (2x + 1). Lalu kita pindah ruaskan nilai g(x) = (2x + 1) keruas yang ada nilai (f o g)(x) sehingga
f(x) = 2x² + x - 1 - 2x -1 dan berubah yang asalnya positif maka akan jadi negatif begitupula sebaliknya. Setelah itu kita urutkan dari yang punya variable didepan dan konstanta dibelakang maka akan menjadi seperti ini
f(x) = 2x² + x - 2x - 1 - 1, lalu kita selesaikan yang sama dengan yang sama. Karena 2x² tidak ada yang sama lagi sehingga tidak dioperasikan. Jadi yang dioperasikan adalah
x - 2x = - x dan - 1 - 1 = 2 sehingga hasilnya adalah f(x) = 2x² -x - 2.

Nahh seperti itulah cara mencari nilai f(x) yang diketahui nilai g(x) dan (f o g)(x)nya.
Lalu bagaimana cara mencari nilai g(x) jika yang diketahui adalah nilai f(x) dan (f o g)(x)nya?
Sekarang saya akan membahas cara mencari nilai g(x) yang belum diketahui.
Langsung saja ke Contoh soal.

Contoh Soal
Jika diketahui f(x) = 2x + 1 dan (f o g)(x) = 2x² - 4x + 1, maka berapakah nilai dari g(x)??
Penyelesaian
(f o g)(x) = 2x² - 4x + 1
(f (g (x))) = 2x² - 4x + 1
2 (g (x)) + 1 = 2x² - 4x + 1
2 (g (x)) = 2x² - 4x + 1 - 1
2 (g (x)) = 2x² - 4x
(g (x)) = (2x² - 4x)/2
(g (x)) = x² - 2x

Ket : Untuk mencari nilai g(x) masih sama dengan cara mencari nilai f(x) yaitu dengan menggunakan (f o g)(x) sebagai penyelesaiannya. Sehingga menjadi (f o g) (x) = 2x² - 4x + 1, lalu kita ubah (f o g)(x) menjadi bentuk asalnya yaitu (f (g (x))) = 2x² - 4x + 1. Dikarenakan nilai f(x) sudah diketahui maka akan menjadi seperti ini
2 (g(x)) + 1 dimana (g(x)) adalah nilai (x) dari 2x + 1. Lalu kita pindah ruaskan angka 1 nya sehingga akan menjadi seperti ini dan berubah menjadi negatif.
2 (g(x)) = 2x² - 4x + 1 -1
Lalu kita selesaikan terlebih dahulu 1 - 1 karena kedua nilai ini sama sehingga hasilnya adalah 0, maka akan menjadi seperti ini 2 (g(x)) = 2x² - 4x. Selanjutnya yang harus kita lakukan adalah membagi 2x² - 4x dengan angka 2 dari 2 (g(x)) sehingga akan menjadi seperti ini.
(g (x)) = (2x² - 4x)/2
Sehingga hasilnya adalah
(g(x)) = x² - 2x.

Jangan lupa baca:

Nahh bagaimana Sobb mudah bukan?
Saya juga terkadang sering terkecoh pada saat menyelesaikannya. Sehingga membutuhkan ketelitian dan kesabaran dalam menyelesaikan contoh soal seperti diatas.

Mungkin cukup sekian Artikel ini saya buat. Semoga bermanfaat, dan terima kasih telah berkunjung.

Fungsi Komposisi mencari (f o g) (x) dan (g o f) (x)! Contoh Soal dan Penyelesaian

Fungsi Komposisi



Hallo Sobat Matematika!
Kemarin setelah saya posting Artikel tentang Perpangkatan dan Determinan Matrik, sekarang saya akan posting Artikel tentang Fungsi Komposisi. Mungkin untuk anak SMA/SMK sudah tidak asing lagi. Tapi tidak apalah, saya share bagi Sobat semua yang masih belum paham tentang Fungsi Komposisi.

Fungsi Komposisi sendiri adalah penggabungan 2 fungsi A dan B yang dilambangkan dengan o , maka A o B merupakan fungsi baru yang disebut komposisi fungsi.
Untuk Lambang fungsi komposisi yaitu (o)/bundaran.
Supaya lebih bisa dimengerti disini saya langsung saja ketahap penyelesaian contoh soal.
Contoh Soal
Dik : f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x² + x - 1
Dit : (f o g) (x), (g o f) (x), dan (g o f ) (5) ??
Penyelesaian

Ket : Dikarenakan yang pertama ditanya adalah (f o g) (x), maka rumus yang kita gunakan untuk salah satu soal ini adalah (f (g (x))) seperti gambar penyelesaian diatas. (f (g (x))) juga bisa disebut f(x) dimana (x) diubah menjadi (g (x)). Sehingga nilai (x) = (g (x)) = x² + x - 1. Seperti gambar penyelesaian diatas, bahwa tulisan yang saya warnai merah adalah nilai (x) atau (g (x)). Sehingga bisa dikatakan f (x) seperti diatas.
Lalu mungkin Sobat bertanya
2 (x² + x - 1) + 1 dari mana??
Kita perhatikan lagi soal bahwa
f (x) = 2x + 1, nahh untuk penyelesaian (f o g) (x) yaitu menggunakan rumus (f (g (x))) dimana (g (x)) adalah nilai x dari f(x) sehingga bisa dikatakan juga menjadi 2(g (x)) + 1. Lalu dikarenakan nilai g(x) adalah x² + x - 1 maka 2(g (x)) + 1 akan menjadi 2 (x² + x - 1) + 1. Setelah itu kalikan 2 dengan yang didalam kurung yakni (x² + x - 1) sehingga akan memiliki hasil 2x² + 2x -2 lalu jangan lupa dengan turunkan angka yang diluar kurungan kebawah segingga akan menjadi seperti 2x² + 2x - 2 + 1. Lalu selanjutnya yang harus dilakukan adalah mengoperasikan antara yang bervariable berpangkat dengan angka bervariable berpangkat lainnya, lalu yang bervariable dengan bervariable lagi, dan angka konstanta (tidak punya variable) dengan konstanta lagi. Terakhir maka akan muncul hasilnya yaitu 2x² + 2x - 1.

Setelah Sobat paham dengan penyelesaian soal (f o g) (x), maka soal selanjutnya yaitu mencari nilai (g o f) (x). Maka rumus yang kita gunakan hampir sama dengan (f o g) (x) yaitu (g (f (x))), namun jika tadi untuk mencari nilai
(f o g) (x) menggunakan (g (x)) sebagai (x) dari f(x). Maka untuk mencari (g o f) (x) menggunakan nilai (f (x)) sebagai (x) dari g(x) sehingga diperoleh (g (f (x))) atau (g (2x + 1) dimana (2x + 1) adalah nilai dari f(x). Sehingga untuk mencari nilai (g o f) (x) adalah sebagai berikut.

Ket : Mungkin Sobat bertanya darimana dan ko bisa ada (2x + 1)² + (2x + 1) - 1? Ini dikarenakan nilai g(x) disoal adalah
x² + x - 1, dan semua nilai (x) disitu diubah dengan nilai f(x) yaitu 2x + 1 yang sesuai dengan soal. Maka akan menjadi seperti dibawah ini.
x² = (2x² + 1)²
x = (2x + 1)
Sehingga akan menjadi seperti ini
(2x + 1)² + (2x + 1) - 1
Setelah Sobat paham, hal yang harus dilakukan selanjutnya adalah kalikan angka dengan angka yang samanya juga. Seperti contoh penyelesaian diatas maka setelah ditentukan (2x + 1)² + (2x + 1) - 1 maka sederhanakan dulu nilai (2x + 1)² dimana kita harus menyederhanakannya sehingga diperoleh 4x² + 4x + 1.
Mungkin Sobat bertanya darimana hasil tersebut??
4x² + 4x + 1 diperoleh dari
4x² = 2x² atau 2x dikalikan 2x
4x = diperoleh dari pangkat/(²) dikalikan dengan 1 dan dikalikan lagi 2x. Sehingga 2 x 1 x 2x = 4x.
Setelah diperoleh hasil tersebut lalu turunkan nilai (x) yang lain atau (2x + 1).
Sehingga diperoleh
4x² + 4x + 1 + 2x + 1 - 1.
Selanjutnya yang harus kita lakukan adalah urutkan nilai yang bervariable harus berada di depan. Sehingga diperoleh
4x² + 4x + 2x + 1 + 1 - 1.
Lalu kita selesaikan nilai dengan nilai yang samanya juga. Segingga diperoleh
4x² + 6x + 1.
Hasil diatas diperoleh dari
4x² = dikarenakan tidak ada lagi nilai yang sama, sehingga nilai ini tidak dioperasikan dan nilainya masih tetap.
6x = ini dihasilkan dari 4x + 2x. Ini dikarenakan nilainya sama memiliki variable.
1 = dihasilkan dari 1 + 1 - 1 = 2 - 1 = 1

Nahh begitulah cara mencari nilai (g o f) (x). Gimana mudah bukan?
Setelah Sobat paham dengan cara mencari nilai (g o f) (x) maka yang selanjutnya adalah mencari nilai (g o f) (x) jika (x)nya diketahui yaitu (5).
Yang harus kita lakukan adalah menggunakan nilai (g o f) (x) yang telah dicari tadi yang memiliki hasil yaitu 4x² + 6x + 1 dan mengubah nilai x menjadi 5
Sehingga dapat diselesaikan seperti dibawah ini.
(g o f) (x) = 4x² + 6x + 1
(g o f) (5) = 4(5)² + 6(5) + 1
(g o f) (5) = 4(25) + 30 + 1
(g o f) (5) = 100 + 31
(g o f) (5) = 131

Huhh...mudah bukan Sob? Untuk mencari nilai (g o f) (5) sangat mudah jika kita sudah mengetahui nilai (g o f) (x) nya. Sehingga nilai (g o f) (x) adalah 5.

Nah begitulah cara menyelesaikan soal fungsi komposisi untuk mencari nilai (f o g) (x) dan (g o f) (x). Jika Sobat teliti sendiri, soal ini sangat mudah. Namun tidak jarang saya juga sering terkecoh.

Mungkin cukup sekian Artikel Fungsi Komposisi dari saya. Mohon maaf jika ada kesalahan, jika ada Sobat bisa berkomentar dikolom komentar dibawah.
Semoga bermanfaat dan terimakasih telah berkunjung.

Perpangkatan dan Determinan Matrik


Setelah kita memahami penjumlahan, pengurangan, dan perkalian matrik. Sekarang kita akan memahami lagi tentang Perpangkatan dan Determinan Matrik dengan lengkap.

Untuk yang belum memahami bagaimana cara mengerjakan soal penjumlahan, pengurangan, dan perkalian Sobat bisa baca artikel saya tentang penjumlahan, pengurangan, dan perkalian di bawah Artikel ini yaitu di Postingan Terkait.

A. Perpangkatan Matrik


Sifat perpangkatan Matrik sama dengan perpangkatan pada bilangan-bilangan untuk setiap A bilangan Real.
A² = A.A
A³ = A².A
A⁴ = A³.A
A(pangkat)5 = A⁴.A
A(pangkat)n = A(pangkat)n-1.A

Contoh Soal :

A = 2
A² = 2²
2 x 2 = 4

Atau untuk contoh lainnya Sobat bisa memerhatikan contoh soal dibawah ini.


Maka berapakah nilai A² ??
Penyelesaian...


Ket :
Ketika soal perpangkatan matrik seperti diatas, hal yang harus kita lakukan adalah membuat matrik yang sama sesuai dengan pangkat yang tertera. Seperti perpangkatan pada umumnya, contoh 5³ maka penyelesaiannya yaitu
5 x 5 x 5 = 125
Tidak jauh dengan contoh seperti itu maka soal matrik yang memiliki pangkat 2 harus dikalikan lagi dengan dirinya sendiri. Sehingga dalam penyelesaian diatas terdapat dua matrik yang sama, setiap soal tergantung perpangkatan.
Setelah itu kita kalikan kedua matrik tersebut dengan cara Baris dikalikan dengan Kolom lalu jumlahkan seperti diatas. Sehingga diperoleh hasilnya yaitu
3 2
4 3

Gimana Sob, sudah paham?
Ternyata mudah bukan dalam menyelesaikan soal Perpangkatan Matrik. Setelah kita memahami perpangkatan Matrik, sekarang kita akan masuk ke materi Determinan Matrik.

B. Determinan Matrik


Jika Determinan dan Perpangkatan dibandingkan, saya rasa lebih susah Determinan. Karena kemungkinan besar kita akan sering terkecoh.
Untuk rumus Determinan matrik yang ber-Ordo 2 x 2 yaitu

Ket :
Dari rumus diatas menjelaskan bahwa untuk mengerjakan soal Determinan Matrik ber-ordo 2 x 2, kita harus mengkalikan nilai 'a' dengan 'd' lalu dikurang dengan hasil 'b' dikali 'c'.

Contoh Soal
Jika diketahui :

Maka det(A) adalah?

Penyelesaian...
ad - bc = 2.1 - 2(-2) = 2 + 4 = 6

Maka det(A) adalah 6

Untuk Determinan Matrik ber-Ordo 3 x 3, berikut adalah rumusnya.


Det(A) = a.e.f + b.f.g + c.d.h - c.e.g - a.f.h - b.d.I

Ket :
Kalikan 3 angka yang diberi warna merah dan hijau lalu untuk angka warna merah tambahkan dengan hasil 3 angka merah yang telah dikalikan lalu dikurang dengan warna hijau yang telah dikalikan begitu seterusnya.

Atau jika Sobat belum paham dengan yang saya sampaikan diatas Sobat bisa perhatikan contoh Soal dibawah ini.

Contoh Soal
Jika Diketahui A adalah sebagai berikut

Maka berapakah nilai det(A) ??

Penyelesaian...

= 2.3.3 + 1.4.2 + (-1).1.(-2) - (-1).3.2 - 2.4.(-2) - 1.1.3
= 18+8+2+6+16-3
= 47

Nah begitulah cara penyelesaian Determinan Matrik ordo 3 x 3. Jika Sobat masih belum paham terhadap apa yang saya sampaikan Sobat bisa menggunakan kolok komentar dibawah untuk bertanya.

Baca juga:

Mungkin cukup sekian dari saya, jika ada kesalahan mohon maaf. Semoga bermanfaat dan terimakasih telah berkunjung.

Cara mudah mengerjakan soal penjumlahan, pengurangan, dan perkalian Matrik


Matrik adalah salah satu materi Matematika yang sangat membingungkan. Karena kita harus memahami terlebih dahulu apa itu baris dan kolom. Ditambah lagi kita harus memahami Tranfos dan masih banyak lagi seperti cara penyelesaiannya yang lumayan panjang.

Mungkin berita buruk bagi yang tidak menyukai Matrik untuk kalangan anak SMA/SMK bahwa UN Matematika akan memunculkan beberapa soal Matrik. Saya belum tahu betul berapa jumlah soal matrik yang akan muncul, namun besar kemungkinan ±5 soal Matrik yang akan muncul.

Untuk itu kita harus memahami betul materi Matrik supaya ketika UN Matematika menghadapi kita, kita sudah menguasai beberapa tentang matrik dan juga paham betul penyelesaian-penyelesaiannya. Karena tidak sedikit orang terkecoh saat mengerjakan soal Matrik sehingga jawaban yang dipilih salah.

Berhubung soal Matrik akan muncul ketika UN. Saya akan membagikan cara mudah untuk mengerjakan soal perkalian Matrik.
Sebelum mempelajari cara mudah mengerjakan perkalian matrik, Sobat harus mengerti terlebih dahulu apa itu Kolom, Baris, dan Ordo.
Untuk supaya lebih dipahami, berikut adalah pengertian baris, kolom, dan ordo menurut saya sendiri.

Baris, adalah suatu jajaran data yang menyamping dan memanjang ke samping. Seperti ketika kita sedang membuat sebuah kalimat, maka kalimat tersebut bisa dikatakan sebuah baris/barisan. Contoh baris yang lain juga bisa digambarkan seperti berikut ini.

a b c d e f g h I j k l

Nah, seperti itulah gambaran tentang baris.

Kolom
Jika baris bisa dikatakan data yang menyamping, sedangkan untuk Kolom bisa dikatakan data yang berjajar kebawah. Untuk gambaran umum tentang kolom adalah seperti berikut ini.

A
B
C
D
E
F
G
H
I

Ordo
Setelah memahami Baris dan kolom maka yang harus dipahami juga adalah Ordo. Ordo adalah jumlah baris dan jumlah kolom dari suatu data.
Perhatikan contoh gambar berikut.

Nilai A mempunyai 2 baris dan 2 kolom maka ordonya adalah 2 x 2
Sedangkan nilai B mempunyai 2 baris dan 1 kolom maka ordonya adalah 2 x 1 .

Jika Sobat sudah paham ketiga poin tersebut sekarang kita masuk ke tahap contoh soal Matrik.

Penjumlahan Martik


Untuk penjumlahan matrik penyelesaiannya yaitu dengan Baris ditambahkan dengan baris lagi (Baris + Baris) dengan syarat ordonya sama (seperti 2 x 2 dengan 2 x 2). Atau Sobat bisa perhatikan gambar berikut ini.

Setelah Sobat paham dengan gambar diatas sekarang kita akan mulai dengan contoh soalnya.
Contoh Soal
Jika A dan B memiliki nilai seperti dibawah ini.

Maka berapakah penyelesaian dari A+B ?
Penyelesaian

Untuk pertambahan maka cara yang kita lakukan adalah Baris x Baris seperti cara diatas dimana 5 + 7, -1+(-5) dan 2 + 1, 3+3.
Namun pasti ada juga soal yang mengecoh seperti yang ditanyakan adalah 2A + B. Maka yang harus kita lakukan adalah mengkalikan terlebih dahulu 2 dengan A setelah itu ditambahkan kembali dengan B.
Maka akan seperti dibawah ini.

Begitulah cara menyelesaikan pertambahan Matrik dengan mudah.

Pengurangan Matrik


Untuk pengurangan Matrik cara yang dilakukan juga sama seperti penjumlahan Matrik dimana Baris dikurang dengan baris (Baris - Baris) dengan syarat ordonya harus sama. Sehingga saya tidak perlu lagi memberikan contoh soal untuk pengurangan matrik karena caranya juga sama.

Setelah paham dengan pertambahan dan pengurangan Matrik, maka perkalian dan pembagian juga tidak bisa dilupakan karena soal perkalian dan pembagian Matrik adalah soal yang pasti muncul.

Perkalian Matrik


Berbeda dengan pertambahan-pengurangan yang memiliki cara penyelesaian dengan cara baris ke baris, Perkalian matrik menggunakan cara dengan baris x kolom. Atau Sobat bisa memerhatikan gambar dibawah ini.

Contoh Soal
Jika diketahui M dan N adalah sebagai berikut,

maka berapakah nilai M x N ?
Penyelesaian

Jadi untuk perkalian Matrik intinya adalah mengalikan antara Baris dengan kokom nilai yang lain. Sehingga seperti diatas.
Untuk perkalian matrik, ada beberapa soal yang tidak bisa dicari hasilnya seperti ordo 2 x 2 dengan 1 x 2.

Lalu bagaimana cara menemukan soal yang tidak bisa dicari hasilnya atau sudah tidak bisa dikerjakan??

Maka yang harus Sobat lakukan adalah dengan menentukan ordo dari suatu Matrik. Atau Sobat bisa memerhatikan gambar berikut ini.

Dikarenakan dua angka yang berdekatan berbeda maka soal ini tidak bisa dikerjakan. Jika sebaliknya ordonya
1 x 2 dan 2 x 1, maka angka yang berdekatan adalah 2 dan 2 sehingga soal ini bisa dikerjakan.
Untuk soal lainnya juga seperti 2A x B, maka kalikan terlebih dahulu kalikam A dengan 2 seperti penjumlahan matrik diatas. Atau juga bisa A x 3B, 5A x 3B, maka kedua soal tersebut harus dikalikan terlebih dahulu dengan Angka yang didepannya.

Bagaimana Sobat sudah paham dengan perkalian Matrik?
Untuk perkalian Matrik, disini saya mempunyai cara cepat menentukan jawaban dari soal Perkalian Matrik jika berbentuk Pilihan Ganda. Perhatikan gambar dibawah ini.

Digambar tersebut menunjukan bahwa ada dua ordo yaitu 2 x 2 dan 2 x 1. Jika nilai yang berdekatan sama, maka bisa dikerjakan atau memiliki hasil. Namun Sobat jangan lupa bahwa ada nilai ordo yang lain seperti diatas yang selain nilai berdekatan yaitu 2 dan 1, sehingga bisa disimpulkan bahwa jawaban yang tepat dari sebuah soal Matrik Pilihan Ganda yaitu dengan memiliki ordo 2 x 1. Sehingga Sobat tidak perlu susah payah mencarinya dengan penyelesaian-penyelsaian. Cukup dengan tentukan ordo jawabannya seperti diatas, maka akan lebih cepat untuk mengerjakan soalnya.

Begitulah cara-cara mengerjakan soal Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian Matrik.
Jika ada yang ingin ditanyakan, Sobat bisa menggunakan kolom komentar dibawah Artikel ini. Semoga Bermanfaat dan terima kasih telah berkunjung.

Penyelesaian Soal Dua Garis Sejajar


Halo Sobat pecinta Matematika!
Sekarang saya akan membagikan Artikel tentang Dua Garis Sejajar yang sebelumnya juga saya sudah membagikan artikel tentang [Penyelesaian Soal] Dua Garis Saling Tegak Lurus yang saya buat dengan sangat rinci supaya dapat cepat dipahami. Karena belajar Matematika itu harus dengan teliti dan memerhatikan setiap tahapan-tahapan dalam penyelesaiannya.

Dua Garis Sejajar...


Jika dua garis sejajar maka gradiennya sama yaitu :

Dimana m1 nilainya sama dengan m2.
Contoh Soal
Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik A (4, -5) dan sejajar dengan garis 2x + 3y = 4 !!

Contoh Soal diatas sebenarnya tidak beda jauh dengan [Penyelesaian Soal] Dua garis saling tegak lurus dalam segi penyelesaiannya. Namun ada sedikit yang berbeda saja. Sehingga jika Anda sudah paham tentang Dua garis saling tegak lurus maka mungkin akan mudah paham juga dengan Dua Garis Sejajar.

Penyelesaian…
Dik : A (4, -5), 2x + 3y = 4

Dit : Persamaan Garis Lurus ??

Jawab :

Sebelum kita ketahap pusat, kita harus mencari terlebih dahulu nilai dari m1 dan m2. Maka untuk mencarinya adalah sebagai berikut.


Sama halnya dengan Dua Garis saling Tegak Lurus, pertama kali yang harus dicari adalah nilai dari m1 dan m2. Dikarenakan m1 = m2 maka setiap hasil pencarian nilai m1 maka apapun hasilnya sama dengan nilai m2.

Seperti penyelesaian diatas maka yang pertama kali kita lakukan adalah memindahkan angka bervariabel x (2x) ke ruas lainnya. Jika berpindah keruas lain maka nilainya akan berubah bentuk menjadi negatif sehingga menjadi -x (-2x) ataupun juga yang asalnya negatif maka akan menjadi positif.

Karena kedua garis sejajar, maka m1 = m2 mempunyai nilai -⅔
Persamaan garis lurus melalui titik A (4, -5) dengan gradien m = -⅔ adalah sebagai berikut...


8/3 darimana??
Ko -⅔ menjadi -⅔x ??

Mungkin Sobat bertanya demikian dan saya akan menjelaskannya dibawah ini.

8/3 berasal dari -⅔ dikalikan -4 maka hasilnya 8/3. Kenapa bisa jadi 8/3??
Hasil 8/3 berasal dari -2 dikalikan dengan -4 maka hasilnya 8, lalu dibagi dengan 3 karena tidak bisa dibagi sehingga bentuknya menjadi 8/3.

-⅔ menjadi -⅔x ??
Jawabannya sama dengan diatas bahwa -⅔ dikalikan dengan variabel x maka hasilnya -⅔x.

Gimana Sobat Matematika sudah paham?
Mudah bukan? Pastinya.

Jika ada yang ditanyakan lagi Sobat Matematika bisa berkomentar dengan bijak dikolom komentar dibawah artikel ini.

Baca juga:
Mungkin cukup sekian artikel saya tentang materi Dua Garis Sejajar. Semoga bermanfaat dan menambah ilmu Sobat Matematika. Terima kasih telah berkunjung!

[Penyelesaian Soal] Dua garis saling tegak lurus


Hai Sobat pecinta Matematika !!

Apa kalian sudah belajar matematika tentang Dua Garis Saling Tegak Lurus?
Sudah tapi belum paham?

Nah sesuai judul artikel ini, sekarang saya akan membagikan materi tentang Dua Garis Saling Tegak Lurus. Namun secara singkat beserta Contoh Soal dan penyelesaian.

Dua Garis Saling Tegak Lurus


Jika dua buah garis saling tegak lurus, maka perkalian kedua gradiennya adalah

Contoh Soal
Tentukan persamaan garis yang melakui titik A (-3, 4) dan tegak lurus terhadap garis 3x - 2y = 4 !
Penyelesaian...
Dik : A = (-3, 4), garis = 3x - 2y = 4
Dit : Persamaan garis?
Jawab :
(1.) Yang harus kita cari terlebih dahulu adalah nilai m1 dan m2 dari soal tersebut. Maka untuk mencari m1 yaitu seperti berikut.


Kenapa bisa menjadi 2y = -3x + 4 ??
Darimana -2 dan kenapa 2y menjadi y??

Mungkin Sobat matematika akan bertanya seperti itu.
Kenapa bisa menjadi 2y = -3x + 4, yaitu karena pindahkan terlebih dahulu 3x keruas lain sehingga menjadi negatif karena diruas sebelumnya berbentuk positif. Sehingga terbentuklah
2y = -3x + 4

NOTE : Ketika suatu angka berpindah ruas, maka angka tersebut berubah bentuk yang asalnya positif menjadi negatif dan yang asalnya negatif menjadi positif.

Lalu darimana -2 dan kenapa 2y menjadi y ??
Ini dikarenakan angka 2 dari 2y kita pindahkan ke ruas Latin sehingga menjadi -2 dan kita tinggalkan y nya diruasnya sehingga tidak berubah sama sekali.

Bagaimana? Sobat Matematika sampai disini sudah paham?
Saya asumsikan Sobat sudah paham dan sekarang kita mulai ke tahap selanjutnya yaitu mencari m2.

Karena kedua garis saling tegak lurus, maka m1 dan m2 nilainya sama, sehingga seperti berikut...

Persamaan garis lurus melalui titik..
A (-3, 4)
dengan gradien..

adalah sebagai berikut :


Sebelum Sobat Matematika memahami penyelesaian diatas Sobat harus memahami dulu formula dibawah ini.
y - y1 = m (x-x1)
y - 4 = -⅔ (x - 3)
y1 = 4
m = -⅔
x1 = -3
Sehingga titik A bisa juga disebut (x1, y1) = (-3, 4) dan juga nilai m dibawa dari penyelesaian yang pertama kita buat terlebih dahulu.

-⅔ ( x + 3 ) kenapa menjadi -⅔x - 2 ??

Mungkin Sobat bertanya demikian, ini terjadi karena -⅔ dikalikan dengan x dan juga 3. -⅔ x x maka hasilnya adalah -⅔x dan -⅔ dikalikan 3 maka akan seperti -2 dikalikan 3 maka hasilnya adalah -6 lalu dibagi lagi dengan 3 maka hasilnya -2. Sehingga bisa disimpulkan hasilnya akan menjadi seperti -⅔x - 2.

Kesimpulan...


Jadi, persamaan garis garis yang melalui titik A (-3, 4) dan tegak lurus terhadap 3x - 2y = 4 adalah y = -⅔ + 2 .

Nah, bagaimana Sob? Mudah bukan?
Saya rasa sih mudah kalo kitanya memerhatikan dan memahaminya satu persatu.
Sebenarnya Matematika itu seru dan menarik Sob dibanding mata pelajaran yang lain. Dikarenakan akan membuat kita tertantang dan penasaran. Ini sih menurut saya, mungkin pendapat kita bisa berbeda ataupun sama.

Baca juga:
Mungkin cukup sekian materi Matematika tentang Dua Garis saling Tegak Lurus. Semoga Artikel saya ini mudah dipahami dan tentunya bermanfaat. Terima kasih telah berkunjung, Sob!

Tag : Dua Garis Saling Tegak Lurus