Sifat-sifat fungsi komposisi, tak komutatif, asosiatif, dan terdapat fungsi Identitas


Masih dalam materi tentang Fungsi Komposisi. Sekarang saya akan membagikan Artikel tentang Sifat-sifat Komposisi. Sebelum ke contoh soal, ada sifat-sifat komposisi yang harus diketahui terlebih dahulu yang nantinya akan menentukan jawaban dari contoh soal yang akan kita bahas.
Sifat-sifat Fungsi Komposisi terbagi menjadi 3, yaitu tak komutatif, asosiatif, dan terdapat fungsi Identitas. Berdasarkan pengertian saya sendiri dalam fungsi komposisi ketiga sifat tersebut memiliki pengertian berikut ini.
1. Tak Komutatif, dalam fungsi komposisi tidak berlaku sifat komutatif , yaitu f o g ≠ g o f.
2. Asosiatif, dalam fungsi komposisi berlaku sifat Asosiatif yaitu
f o (g o h) = (f o g)o h
3. Terdapat fungsi Identitas, sehingga berlaku | o f = f o | = f.

Supaya Sobat lebih memahaminya, Sobat bisa memperhatikan contoh soal yang saya buat dibawah ini.

1. Tak Komutatif
Jika diketahui f(x) = 3x + 1 dan g(x) = -2x + 1. Tentukan tak komutatif atau komutatif...??
Penyelesaian
• (f o g)(x) = f (g(x))
= 3 (g(x)) + 1
= 3 (-2x + 1) + 1
= -6x + 3 + 1
= -6x + 4
Ket : Untuk mencari tahu apakah f(x) dan g(x) tak komutatif, maka kita harus mencari terlebih dahulu nilai dari (f o g)(x) sehingga cara mencarinya yaitu dengan cara f(g(x)) dimana (g(x)) menjadi (x) dari f(x). Sehingga jika diubah dengan nilai dari soal maka akan menjadi 3 (-2x + 1) + 1 = -6x + 3 + 1 = -6x + 4.

• (g o f)(x) = g (f(x))
= -2 (f(x)) + 1
= -2 (3x + 1) + 1
= -6x - 2 + 1
= -6x - 1
Ket : Setelah kita mencari nilai dari (f o g) (x), selanjutnya kita harus mencari nilai (g o f)(x). Penyelesaian yang kita gunakan hampir sama dengan cara (f o g) (x) namun rumus yang kita gunakan adalah g(f(x)) dimana (f(x)) adalah (x) dari g(x) sehingga akan menjadi g(3x + 1) atau -2( 3x + 1) + 1. Lalu kita selesaikan dan hasilnya adalah -6x - 1.

Untuk menentukan apakah f(x) dan g(x) tak komutatif, lihat saja hasil akhir dari (f o g)(x) dan (g o f)(x) apakah sama atau tidak. Jika tidak sama, maka terbukti f(x) ≠ g(x).
Kesimpulan : Dari soal diatas terbukti bahwa
(f o g)(x) ≠ (g o f)(x) | -6x + 4 ≠ -6x - 1
Sehingga terbukti tak komutatif.

2. Asosiatif
Jika diketahui f(x) = 3x + 1, g(x) = -2x + 1, dan h(x) = 2x + 1. Maka berapakah ((f o g) o h)(x) = (f o(g o h)(x)) ??
Penyelesaian
• ((f o g) o h)(x) = (f (g(x))) h (x)
= (f (g(x)) 2x + 1
= 3(-2x + 1) + 1(2x + 1)
= -6(2x + 1) + 4
= -12x - 6 + 4
= -12x - 2
Ket : Karena yang ditanyakan adalah salah satunya ((f o g) o h)(x) maka rumus yang kita gunakan adalah rumus (f o g)(x) namun (x)nya diubah dengan h(x) sehingga diperoleh (f (g(x)))(2x + 1). Lalu ubah (f(g(x))) ubah dengan nilai aslinya maka akan menjadi
3(-2x + 1)+1(2x+1). Selanjutnya selesaikan terlebih dahulu (f(g(x))) yaitu 3.(-2x) + 3.1 maka hasilnya adalah
-6x + 3. Lalu urutkan lagi dengan angka yang sebelumnya sehingga menjadi
-6x + 3 + 1, dikarenakan nilai h(x) atau (2x + 1) adalah nilai (x) maka ubah nilai (x) pada -6x + 3 + 1 menjadi h(x) sehingga diperoleh -6(2x + 1) +3+1. Lalu kalikan -6 dengan angka yang ada didalam kurung sehingga diperoleh
-12x -6 + 3 + 1 = -12x - 2.

• (g o h)(x) = g (h(x))
= -2x (h(x))+ 1
= -2x(2x + 1) + 1
= - 4x - 2 + 1
= -4x - 1
Ket : Sebelum kita mencari (f o (g o h))(x) kita harus mencari terlebih dahulu nilai (g o h)(x)nya terlebih dahulu jika belum diketahui. Cara yang digunakan adalah hampir sama seperti mencari (f o g)(x) ataupun (g o f)(x) namun untuk mencari (g o h)(x) hanya menggunakan g(x) dan h(x) dimana h(x) berperan sebagai (x) dari g(x) sehingga diperoleh g(h(x)). Caranya sama dengan cara mencari (f o g)(x) dan (g o f)(x) sehingga saya tidak perlu menjelaskannya lagi.

• (f o (g o h))(x) = f (g (h(x)))
= f ( -4x - 1)
= 3(-4x - 1)+ 1
= -12x - 3 + 1
= -12x -2
Ket : Setelah kita mencari nilai (g o h) maka akan mudah untuk mencari (f o (g o h))(x) karena menggunakan rumus f(g(h(x))) dimana g(h(x)) telah diketahui. g(h(x)) sendiri dalam rumus tersebut menjadi (x) dari f(x) sehingga akan menjadi f(-4x - 1). Lalu kita ubah f(x) dengan nilai aslinya sehingga akan menjadi 3(-4x - 1) + 1, maka yang selanjutnya adalah selesaikan dimana angka 3 dikalikan dengan angka yang berada didalam kurung. Sehingga nilai akhirnya adalah -12x - 2.

Untuk menentukan apakah
((f o g) o h)(x) dan (f o (g o h)(x)) adalah Asosiatif (=) adalah menyamakan kedua nilai tersebut jika sama maka terbukti Asosiatif.

Kesimpulan : Dari soal diatas terbukti bahwa
((f o g) o h)(x) = (f o (g o h))(x)
-12x -2 = -12x -2
terbukti Asosiatif.

3. Terdapat Fungsi Identitas
Jika diketahui
I (x) = x
f(x) = 3x + 1
g(x) = 2x + 1
maka tentukan
a. (f o I)(x) dan (g o I)(x)
b. (I o f)(x) dan (I o g)(x)

Penyelesaian
a.
(f o I)(x) = f(I(x))
= f(x) = 3x + 1

(g o I)(x)
= g(I(x))
= g(x)
= -2x + 1

Ket : Untuk (f o I)(x) dan (g o I)(x) dikarenakan nilai I(x)nya adalah x maka akan menjadi nilai dirinya sendiri lagi. Seperti (f o I)(x) yang rumusnya adalah f(I(x)) dimana I(x) berperan sebagai (x) dari f(x). Dikarenakan nilai I(x) dari f(I(x)) adalah (x) sehingga akan menjadi f(x) lagi yang mempunyai nilai 3x + 1. Sama dengan f(I(x)), g(I(x)) juga memiliki penyelesaian yang sama dengan f(I(x)).

b.
(I o f)(x) = I (f(x))
= I (3x + 1)
= 3x + 1

(I o g)(x) = I (g(x))
= I (-2x + 1)
= -2x + 1
Ket : Untuk mencari nilai (I o f)(x) dan (I o g)(x) maka rumus yang digunakan adalah I (f(x)) dan I (g(x)). Lalu yang selanjutnya adalah ganti f(x) dan g(x) dengan nilai askinya yaitu f(x) = 3x + 1 dan g(x) -2x + 1 sehingga akan menjadi
(I o f)(x) = I (3x + 1) dan
(I o g)(x) = I (-2x + 1). Dikarenakan nilai I(x) hanyalah (x) maka sudah dipastikan tidak ada perhitungan kembali karena hasilnya sudah jelas tertera dimana I(x) adalah nilai (x)nya sendiri.

Kesimpulan : Jadi, terdapat unsur Identitas suatu fungsi dimana jika dikalikan dengan Identitas akan menghasilkan nilai suatu fungsi itu sendiri.

Jangan lupa baca:
Nah itulah Sifat-sifat Fungsi Komposisi. Mungkin sedikit memusingkan karena terlalu terbelit-belit ketika penyelesaiannya yang lumayan panjang, namun bukan Matematika namanya jika tidak seperti itu.

Mungkin cukup sekian yang bisa saya tulis, karena tangan juga sudah pegel ngetik terus. Jika ada yang ingin ditanyakan Sobat bisa menggunakan kolom komentar untuk bertanya. Mohon maaf jika ada kesalahan, mohon jika ada diterakan pada kolom komentar. Sekian semoga bermanfaat, dan terimakasih telah berkunjung.

Jangan lupa Share/Bagikan Artikel ini Sob....

Artikel Terkait

10 Comments

bermanfaat, membantu belajar :)

kayaknya pernah dulu pernah belajar materi beginian deh :D

asli kayanya gua bakal sering kesini nih.

penjelasannya sangat lengkap mungkin boleh saya bookmark gan untuk referensi belajar adik saya trims.


EmoticonEmoticon